个人认为贪心，\(dp\) 是最难的，每次遇到题完全不知道该怎么办，看了题解后又瞬间恍然大悟（TAT）。这篇文章也是花了我差不多一个月时间才全部完成。

用动态规划解决问题具有空间耗费大、时间效率高的特点，但也会有时间效率不能满足要求的时候，如果算法有可以优化的余地，就可以考虑时间效率的优化。

\(DP\) 高时间效率的关键在于它减少了“冗余”，即不必要的计算或重复计算部分，算法的冗余程度是决定算法效率的关键。而动态规划就是在将问题规模不断缩小的同时，记录已经求解过的子问题的解，充分利用求解结果，避免了反复求解同一子问题的现象，从而减少“冗余”。
但是，一个动态规划问题很难做到完全消除“冗余”。

下面给出动态规划时间复杂度的决定因素：

时间复杂度 \(=\) 状态总数 \(×\) 每个状态转移的状态数 \(×\) 每次状态转移的时间

一：减少状态总数

\((1).\) 改进状态表示

\((2).\)选择适当的规划方向

二：减少每个状态转移的状态数

\((1).\) 四边形不等式和决策的单调性

\((2).\) 决策量的优化

\((3).\) 合理组织状态

\((4).\) 细化状态转移

三：减少状态转移的时间

\((1).\) 减少决策时间

\((2).\) 减少计算递推式的时间

（上述内容摘自 《动态规划算法的优化技巧》毛子青 ，想要深入了解其思想的可以去看看这篇写得超级好的论文。）

看到这里是不是已经感觉有点蒙了呢？
本蒟蒻总结了一个简化版本：

在推导 \(dp\) 方程时，我们时常会感到毫无头绪，而实际上 \(dp\) 方程也是有迹可循的，总的来说，需要关注两个要点：状态，决策和转移。其中 “状态” 又最为关键，决策最为复杂。

【状态】

关于 “状态” 的优化可以从很多角度出发，思维难度及其高，有时候状态选择的好坏会直接导致出现暴零和满分的分化。

【决策】

与 “状态” 不同，“决策” 优化则有着大量模板化的东西，在各大书籍，文章上你都可以看到这样的话：只要是形如 \(XXX\) 的状态转移方程，都可以用 \(XXX\) 进行优化。

【转移】

“转移” 则指由最优决策点得到答案的转移过程，其复杂度一般较低，通常可以忽略，但有时也需要特别注意并作优化。

本文将会重点针对 “决策” 优化部分作一些总结，记录自己的感悟和理解。

\[QAQ \]

\(updata\) 之后由于篇幅过大，已搬出。。。。。

【学习笔记】动态规划—矩阵递推加速

补充：其实质是优化 “转移”。

\[QAQ \]

在一些 \(dp\) 方程的状态转移过程中，我们通常需要在某个范围内进行择优，选出最佳决策点，这往往可以作为 \(dp\) 优化的突破口。

数据结构的使用较灵活，没有一个特定的模板，需要根据具体情况而定，选择合适的方案。由于状态转移总是伴随着区间查询最值，区间求和等操作，即动态区间操作，所以平衡树可以作为一个有用的工具，但考虑到代码复杂度，使用树状数组或者线段树将会是一个不错的选择。。

其实质是优化 “决策”。

以 \(The\) \(Battle\) \(of\) \(Chibi\) \([UVA12983]\) 为例，大概题意就是计算在给定的序列中严格单调递增子序列的数量，并对 \(1e9 +7\) 取模，给定序列长度小于等于 \(1000\) 。

方程应该是比较好推的，用 \(dp[i][j]\) 表示由序列中在 \(j\) 之前的数构成并以 \(a[j]\) 结尾的子序列中，长度为 \(i\) 的子序列的数量。则：\(dp[i][j]=\sum dp[i-1][k]\) ，其中 \(k < j\) \(且\) \(a[k] < a[j]\) 。

对于决策点 \(dp[i-1][k]\) 这里出现了 \(3\) 个信息：
\((1).\) 在原序列中的位置 \(k<j\) 。
\((2).\) \(a[k]<a[j]\) 。
\((3).\) \(dp[i-1][k]\) 的和。

对于 \((1)\)，可以用枚举的顺序解决，剩下的两个信息即是数据结构需要维护的信息。

对于每一次 \(dp[i]\) 的决策，可以将 \(a[j]\) 作为数据结构维护的关键字， \(dp[i-1][j]\) 作为权值，加入 \(-inf\) 后离散化，得到一个大小为 \(N+1\) 的数组并在上面建立树状数组，每次计算 \(dp[i][j]\) 时查询前面已经加入的且关键字小于 \(a[j]\) 的 \(dp[i-1][k]\) 总和（即区间查询），然后把 \(dp[i-1][j]\) 加入树状数组（单点查询）。

时间复杂度为 \(O(logn)\)。

当问题涉及到的操作更复杂时，树状数组无法维护所需要的信息，就只有用线段树了。这道题较简单，所以选择了代码复杂度更低的树状数组。






【简单题】



【高档题】





\[QAQ
\]




形如 \(dp[i]=min(dp[j]+w(j,i))\) \((L_i \leqslant j \leqslant R_i)\) 的 \(dp\) 方程被称作 \(1D/1D\) 动态规划，其中 \(L_i\) 和 \(R_i\) 单调递增，\(w(j,i)\) 决定着优化策略选择。


针对决策点具有的特性，可以大大降低寻找最优决策点的时间。


其实质是优化 “决策”。





【决策单调性】


设 \(j_0[i]\) 表示 \(dp[i]\) 转移的最优决策点，那么决策单调性可描述为 \(\forall i \leqslant j,j_0[i] \leqslant j_0[j]\)。也就是说随着 \(i\) 的增大，所找到的最优决策点是递增态（非严格递增）。


【四边形不等式】


\(w(x,y)\) 为定义在整数集合上的一个二元函数，若 \(\forall a \leqslant b \leqslant c \leqslant d,w(a,c)+w(b,d) \leqslant w(a,d)+w(b,c)\)，那么函数 \(w\) 满足四边形不等式。


为什么叫做四边形不等式呢？在 \(w(x,y)\) 函数的二维矩阵中挖一块四边形，左上角 加 右下角 小于等于 左下角 加 右上角。





定理 (1)：四边形不等式的另一种定义


\(w(x,y)\) 为定义在整数集合上的一个二元函数，若 \(\forall a < b,w(a,b)+w(a+1,b+1) \leqslant w(a+1,b)+w(a,b+1)\)，那么函数 \(w\) 满足四边形不等式。


\(证明：\)


\(\because \forall a < c,w(a,c)+w(a+1,c+1) \leqslant w(a+1,c)+w(a,c+1)\)


\(	herefore \forall a+1 < c,w(a+1,c)+w(a+2,c+1) \leqslant w(a+2,c)+w(a+1,c+1)\)


\(上下两式相加，有：\) \(w(a,c)+w(a+2,c+1) \leqslant w(a,c+1)+w(a+2,c)\)


\(以此类推\) \(\forall a \leqslant b\leqslant c,w(a,c)+w(b,c+1) \leqslant w(a,c+1)+w(b,c)\)


\(同理\) \(\forall a \leqslant b \leqslant c \leqslant d,w(a,c)+w(b,d) \leqslant w(a,d)+w(b,c)\)


定理 (2)：决策单调性


\(1D/1D\) 动态规划具有决策单调性当且仅当函数 \(w\) 满足四边形不等式 时成立。


\(证明：\)


\(\because\) \(j_0[i]\) \(在\) \(dp[i]\) \(的决策点中最优\)

\(	herefore\) \(\forall i \in [1,N],\forall j \in [0,j_0[i]-1],dp[j_0[i]]+w(j_0[i],i) \leqslant dp[j]+w(j,i)\)


\(易知\) \(\forall i' \in [i+1,N]\)，\(均满足\) \(j<j_0[i]<i<i'\)。

\(又\) \(\because\) \(函数\) \(w\) \(满足四边形不等式\)

\(	herefore\) \(w(j,i)+w(j_0[i],i') \leqslant w(j,i')+w(j_0[i],i)\)


\(移项得：\) \(w(j_0[i],i')-w(j_0[i],i) \leqslant w(j,i')-w(j,i)\)


\(与第一个式子相加，有：\) \(dp[j_0[i]]+w(j_0[i],i') \leqslant dp[j]+w(j,i')\)


最后的式子含义是：把 \(j_0[i]\) 作为 \(dp[i']\) 的决策点，一定比小于 \(j_0[i]\) 的任意一个 \(j\) 都要更好。也就是说，\(dp[i’]\) 的最优决策点不可能小于 \(j_0[i]\) ，即 \(j_0[i'] \geqslant j_0[i]\)，所以方程 \(dp\) 具有决策单调性。





这里以 玩具装箱 \(toy\) \([P3195]\) 为例（因为这个比较好证 QAQ），先来证一波决策单调性。


设 \(S[n]=\sum _{i=1}^n (C[i]+1)\)，用 \(dp[i]\) 表示装好前 \(i\) 个的最小花费，则 \(dp\) 方程为：\(dp[i]=min(dp[j]+(S[i]-S[j]-1-L)^2)\)。


很明显，这个方程是一个 \(1D/1D\) 动态规划方程，其中 \(w(i,j)=(S[i]-S[j]-1-L)^2\)。


（注意在四边形不等式中的 \(j\) 不是 \(i\) 决策点，可以理解为 \(i’\)。而 \(w(i,j)\) 的值可以理解为是由已完成的状态 \(dp[i]\) 转移到 \(dp[j]\) 所带有的附加价值）。


\(证明：设\) \(Q=S[i]-S[j]-1-L\)


\(	herefore w(i,j)=(S[i]-S[j]-1-L)^2=Q^2\)


\(	ext{证明：设}\) \(Q=S[i]-S[j]-1-L\)


\(	herefore w(i,j)=(S[i]-S[j]-1-L)^2=Q^2\)


\(\begin{aligned}
	herefore w(i+1,j+1)=&(S[i+1]-S[j+1]-1-L)^2\\
         =&((S[i]+C[i+1]+1)-(S[j]+C[j+1]+1)-1-L)^2\\
         =&(Q+C[i+1]-C[j+1])^2
\end{aligned}\)


\(\begin{aligned}
w(i,j+1)=&(S[i]-S[j+1]-1-L)^2\\
         =&(S[i]-(S[j]+C[j+1]+1)-1-L)^2\\
         =&(Q-C[j+1]-1)^2
\end{aligned}\)


\(\begin{aligned}
w(i+1,j)=&(S[i+1]-S[j]-1-L)^2\\
         =&((S[i]+C[i+1]+1)-S[j]-1-L)^2\\
         =&(Q+C[i+1]+1)^2
\end{aligned}\)


\(	herefore w(i,j)+w(i+1,j+1)=2X^2+2C[i+1]X-2C[j+1]X+C[i+1]^2-2C[i+1]C[j+1]+C[j+1]^2\)


\(	herefore w(i+1,j)+w(i,j+1)=2X^2+2C[i+1]X-2C[j+1]X+C[i+1]^2+2C[i+1]+2C[j+1]+C[j+1]^2+2\)


\(	herefore w(i,j)+w(i+1,j+1)-w(i+1,j)+w(i,j+1)=-2(C[i+1]+1)(C[j+1]+1)\)


\(	ext{又} \because C[i],C[j] \geqslant 1\)


\(	herefore -2(C[i+1]+1)(C[j+1]+1) \leqslant -8\)


\(	herefore w(i,j)+w(i+1,j+1) \leqslant w(i+1,j)+w(i,j+1)\)


\(	herefore w(i,j)+w(i+1,j+1)=2X^2+2C[i+1]X-2C[j+1]X+C[i+1]^2-2C[i+1]C[j+1]+C[j+1]^2\)


\(	herefore w(i+1,j)+w(i,j+1)=2X^2+2C[i+1]X-2C[j+1]X+C[i+1]^2+2C[i+1]+2C[j+1]+C[j+1]^2+2\)


\(	herefore w(i,j)+w(i+1,j+1)-w(i+1,j)+w(i,j+1)=-2(C[i+1]+1)(C[j+1]+1)\)


\(又 \because C[i],C[j] \geqslant 1\)


\(	herefore -2(C[i+1]+1)(C[j+1]+1) \leqslant -8\)


\(	herefore w(i,j)+w(i+1,j+1) \leqslant w(i+1,j)+w(i,j+1)\)


由定理 \((1)\) 可知，函数 \(w\) 满足四边形不等式。

又由定理 \((2)\)可知， 方程 \(dp\) 具有决策单调性。


在实战中，通常使用打表的形式来验证 \(w\) 函数的递变规律。





（\(ps.\) 对于此处及以下语言不严谨处，大家可以认真思考并给予建议，待日后对其理解加深后再行修改。）


这里选择不同的例题将二者分开讲。


【二分栈】


二分栈，顾名思义就是二分加栈。


用栈维护单调的决策点，二分找到最优决策点。


以 \(Lightning\) \(Conductor\) \([P3515]\) 为例，题目大意就是在给定长度为 \(n\) 的序列 \(a\) 中，对于每一个 \(i\)，找到最小的自然数 \(p_i\) 满足对于任意的 \(j \in [1,n]\)，均有 \(a_j \leqslant a_i+p_i-\sqrt{\left|i-j\right|}\) 。


把这个式子变下形：\(p_i \geqslant a_j-a_i+\sqrt{\left|i-j\right|}\) 。

即 \(p_i=max \{ a_j+\sqrt{\left|i-j\right|} \} -a_i\)

即 \(p_i=max \{ max\{a_j+\sqrt{i-j}\}(j \in [1,i]),max\{a_j+\sqrt{j-i}\}(j \in [i+1,n]) \}-a_i\)


可以发现里面两个 \(max\) 可以视为同一个问题（只要把序列翻转一下就可以了），所以只需要考虑求出对于每一个 \(i\) 的 \(max\{ a_j+\sqrt{i-j} \}\)，其中 \(j \in [1,i]\)。


设 \(y_j=a_j+\sqrt{i-j}\)


那么我们会得到 \(n\) 个关于 \(i\) 函数，\(p_i=max\{ y_j \}\)。


将样例画出来，如图：




可知当 \(i=4\) 时，直线 \(x=4\) 与 \(y1=a_1+\sqrt{x-1}\) 的交点即为 \(p_4\)。


在上图中，对于任意 \(j \in [1,n]\) ，\(y1\) 总是在最上面，也就是说下面的其他函数可以踢掉不要，但由于 \(sqrt\) 函数的增速递减，会出现如图中 \(y2,y4\) 的情况，即存在一个交点使得在该点两边时两条直线的位置关系不同。此时如果没有上面的 \(y1\)，\(y2,y4\) 都有可能成为答案，所以不能乱踢。


看下面这种情况：




设 \(k_1\) 为 \(y_1,y_2\) 的交点，\(k_2\) 为 \(y_2,y_3\) 的交点。

此时 \(k_1 > k_2\)，可以发现 \(y_2\) 始终在其他直线的下面，可以放心的将其踢掉。


所以维护出来的决策集合大概就是酱紫的：




对于不同的 \(i\) 来说，都有一个互不不同的直线在最上方，所以该决策集合里的直线都是有用的。可以从图中看出，最优决策点单调递增（决策单调性的数学证明较麻烦，本人能力不足，不作探讨）。


维护决策集合用单调队列，查找直线交点用二分，随便搞搞就行了。


时间复杂度为 \(O(nlogn)\)。


【分治】


为方便描述，用 \(dp[a,b]\) 表示 \(dp[a],dp[a+1],dp[a+2]...dp[b]\)。


假设我们已知 \(dp[l,r]\) 的最优决策点均位于 \([L,R]\)，再设 \(dp[mid]\) 的最优决策点为 \(j_0\)，其中 \(mid=(l+r)/2\)。根据决策单调性的定义可知：

\(dp[l,mid-1]\) 的最优决策点位于 \([L,k]\)，

\(dp[mid+1,r]\) 的最优决策点位于 \([k,R]\)。

原问题变成了两个规模更小的同类型问题，所以可以用分治来对 \(dp\) 进行优化。


分治的话理解和代码都要简单一些，但在某些情况下可能要被卡，时间复杂度会严重退化，所以还是二分栈的实用性更高。


还是以 \(Lightning\) \(Conductor\) \([P3515]\) 为例，每次的分治中先暴力扫一遍找到 \(p[mid=(l+r)/2]\) 的最优决策点 \(j_0\)，然后做一下左边，再做一下右边，然后 \(...\) 然后 \(...\) 就没了。


时间复杂度为 \(O(nlogn)\)。





二分栈




分治







【中档题】



【高档题】





\[QAQ
\]






形如 \(dp[i]=max/min \{ dp[j]+funtion(i)+function(j) \}\) 的 \(dp\) 方程均可尝试使用单调队列优化。


单调栈和单调队列给我们展现出了一种思想：在保证正确性的前提下，及时排除不可能的决策点，保持决策集合内部的有序性和查找决策的高效性。之前的二分栈，此处的单调队列优化，和后面的斜率优化都是以此为核心来运作的。


其实质是优化 “决策”。





【T1】


琪露诺 \([P1725]\)（盗版滑动窗口QAQ）。


【题目大意】


在给定序列中找出一条路径使其经过的点之和最大，且每次可走的距离在给定区间 \([l,r]\) 以内。


【分析】


方程非常简单：\(dp[i]=max\{ dp[j]+a[i] \} (i-r \leqslant j \leqslant i-l)\) 。


在某一次决策中，由于决策点 \(j\) 只可能在 \([i-l,i-r]\) 这一段区间内，可以只将这些点放入决策集合。

而 \(l,r\) 是定值，当 \(i\) 不断增大时，之前小于 \(i-l\) 的 \(j\) 现在还是小于 \(i-l\)，所以可以永远地踢掉。

若 \(j < j'\) 且 \(dp[j] \leqslant dp[j']\)，那么 \(dp[j]\) 也可以永远地踢掉。为什么呢？ \(j\) 在 \(j'\) 的前面，一定会先成为不合法决策点，而 \(j\) 的价值又比 \(j'\) 小，因此留下来只是浪费扫描的时间。


最终维护出了一个价值递减的单调队列。


【Code】




【T2】


\(fence\) \([POJ1821]\)


【题目大意】


\(M\) 个工人要对 \(N\) 块木板进行粉刷。工人 \(i\) 要么不刷，要么就刷不超过 \(L_i\) 块并且包含 \(S_i\) 的连续一段木板，每粉刷一块木板有 \(P_i\) 的报酬。要求使总报酬最大。


【分析】


\(S_i\) 的散乱分布非常讨厌，所以先把工人按 \(S_i\) 排个序。


主要信息有“工人序号”，“木板序号”，“报酬”这三个，而其中“报酬”为所求答案，可以用 \(dp[i][j]\) 表示前 \(i\) 个工人刷完前 \(j\) 块木板所得总报酬。


考虑状态转移：

第 \(i\) 个工人可以跳过不刷木板，也可以跳过第 \(j\) 块木板不刷，因此先在 \(dp[i-1][j]\) 和 \(dp[i][j-1]\) 当中取个最大值。

工人 \(i\) 想要粉刷的区间 \([k+1,j]\) 必须包括 \(S_i\)，并且区间长度要小于等于 \(L_i\)。

所以得出 \(dp\) 转移方程：\(dp[i][j]=max \{ dp[i-1][j],dp[i][j-1],dp[i-1][k]+P_i*(j-k) \}\)，其中 \(S_i \leqslant j\) 且 \(k \in [j-L_i,S_i-1]\)。


\(k\) 为决策点，\(P_i*j\) 为定值可以单独提出来，所以实际上就是上面琪露诺 \([P1725]\)一样的类型，只是加了一维而已。


最终维护出了一个 \(dp[i-1][k]-P_i*k\) 递减的单调队列。


【Code】







先来回顾一下多重背包问题。


用 \(v,w,c\) 分别表示物品重量，价值，数量，\(n\) 为物品数量，\(V\) 为背包容量。\(dp\) 方程为：\(dp[j]=max\{ dp[j-k*v[i]]+k*w[i] \}\) \((j \in [v[i],V],\) \(k \in [1,min(c[i],j/v[i])])\)


还可以用二进制拆分来进行优化，但就是有这样一道题，连 \(log\) 都要卡：多重背包 \([CodeVS5429]\)。所以还需要考虑更高效的算法。


但说来说去似乎都和单调队列扯不上关系。


为何？


观察 \(dp[j]\) 和 \(dp[j-1]\) 决策集合：

\(dp[j]: \{ j \% v[i]...j-2*v[i],j-v[i] \}\)

\(dp[j-1]: \{ (j-1) \% v[i]...(j-1)-2*v[i],(j-1)-v[i] \}\)


\(dp[j]\) 的每一个决策点都与 \(dp[j-1]\) 不同，很难根据 \(dp[j-1]\) 的决策集合转移成 \(dp[j]\) 的决策集合。


再看 \(dp[j]\) 和 \(dp[j-v[i]]\)：


\(dp[j]: \{ j-c[i]*v[i]...j-2v[i],j-v[i] \}\)


\(dp[j-v[i]]: \{ j-(c[i]+1)*v[i]...j-3v[i],j-2v[i] \}\)


可以发现上面只是比下面的区别仅仅在于 \(j-(c[i]+1)*v[i]\) 和 \(j-v[i]\) ，恰好满足单调队列的一个特性：但有新的决策出现时，决策点集合中会去掉一部分不合法的，再加上一部分新来的。


所以我们可以按照 \(j%v[i]\) 的余数来分一下：


\(dp[j](j\%v[i]=0):\{0,v[i],2v[i]...j-2v[i],j-v[i]\}\)

\(dp[j](j\%v[i]=1):\{1,v[i]+1,2v[i]+1...j-2v[i],j-v[i] \}\)

\(...\)

\(dp[j](j\%v[i]=v[i]-1):\{v[i]-1,2v[i]-1...j-2v[i],j-v[i]\}\)


设 \(j=p*v[i]+r\)，那么原方程可改为： \(dp[p*v[i]+r]=max\{ dp[r+k*v[i]]+(p-k)*w[i] \}\) \((r \in [0,v[i]-1],\) \(p \in [1,\lfloor(V-r)/v[i]\rfloor],\) \(k \in [p-min( \lfloor V/w[i]\rfloor ,c[i]),p])\)

只要在最外层将 \(i,r,p\) 都枚举出来，这就是一个标准的单调队列可优化方程，用类似 \(fence\) \([POJ1821]\) 的方法维护即可。


时间复杂度为 \(O(N*V)\) 。


【Code】







【简单题】



【中档题】





\[QAQ
\]



由于篇幅过大，已搬出。。。。。


【学习笔记】动态规划—斜率优化DP（超详细）


补充：其实质是优化 “决策”。




\[QAQ
\]



（本文部分内容摘自以下文章）